Новое задание 17: математическое моделирование реальных ситуаций

Что проверяет задание 17 на математическое моделирование

Задание 17 по плану изменений ФИПИ проверяет умение составить по условию выражение, уравнение, неравенство или систему, исследовать полученную модель средствами алгебры и анализа и истолковать результат^[1]. Сюжеты, как сказано в плане, могут прийти из других учебных предметов и из жизни.

Это новый номер второй части: ответ записывается с полным решением в бланк № 2, уровень сложности — повышенный, максимальный балл — 2. В варианте 2026 года отдельного задания на математическое моделирование с развёрнутым ответом не было. Его место во второй части прежде занимала экономическая задача, которая по проекту переехала в первую часть.

В проекте кодификатора навык записан в требованиях: «моделирование реальных ситуаций на языке математики». Рособрнадзор, по пересказу нескольких СМИ, объясняет обновление профильного экзамена усилением подготовки инженерных кадров, и новый номер этой логике прямо отвечает.

Все сведения взяты из проекта документов конца августа 2026 года^[2]. До выхода утверждённой демоверсии формулировки и критерии ещё могут поменяться.

Три шага решения: модель, исследование, вывод

Любое решение семнадцатого номера проходит одни и те же три этапа, и на каждом есть своя типичная потеря. Удобно держать их перед глазами в виде таблицы.

Третий шаг выглядит формальностью, но его чаще всего недооценивают. Если спрашивают максимальную мощность, ответом будет мощность, а не сопротивление, при котором она достигается.

Чем задание 17 отличается от задания 10

В проекте есть два номера про моделирование реальных ситуаций, и путать их не стоит. Разница — в формате и в том, что именно оценивается.

Десятый номер хорошо готовит к семнадцатому: он приучает читать формулу из условия и не бояться физических обозначений. Но в семнадцатом от вас ждут большего — вывести формулу самостоятельно и доказать, что найденное значение действительно отвечает на вопрос. Полную таблицу номеров ищите на странице о профильной математике 2027.

Разбор демоверсии: мощность генератора

Основной сюжет демоверсии — электрическая цепь: генератор с ЭДС 50 В и внутренним сопротивлением 1 Ом, закон Ома и формула P = I²R; найти максимальную тепловую мощность. Верный ответ — 625 Вт.

Ход решения выглядит так. Пусть R — внешнее сопротивление. По закону Ома для полной цепи сила тока I = 50 / (R + 1), значит, мощность на внешнем участке P(R) = 2500 · R / (R + 1)². Это и есть модель: функция одной переменной на промежутке R > 0.

Исследуем её производной. P′(R) = 2500 · (1 − R) / (R + 1)³. Производная положительна при 0 < R < 1 и отрицательна при R > 1, поэтому R = 1 — точка максимума, и других точек максимума на промежутке нет. Подставляем: P(1) = 2500 · 1 / 4 = 625.

Интерпретация: наибольшая тепловая мощность равна 625 Вт и достигается, когда внешнее сопротивление совпадает с внутренним. Именно смена знака производной и вывод «это максимум на всём промежутке» превращают верное число в обоснованный ответ. Число 625 без такого исследования нельзя считать обоснованным, даже если оно совпало с эталоном.

Тот же результат можно получить и без производной: выражение (R + 1)² / R = R + 2 + 1/R не меньше 4 по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим. Это законный способ исследования модели средствами алгебры, если рассуждение записано полностью.

Второй сюжет демоверсии: качка корабля

Демоверсия показывает и альтернативный сюжет: амплитуда качки корабля задана как функция периода волны, а ответ — 15 секунд. Подробности условия смотрите в самом файле демоверсии на сайте ФИПИ.

Для подготовки важен не корабль, а тип работы. Здесь величина, которую нужно найти, — значение аргумента, то есть период, а не значение функции. Это зеркальная ситуация по сравнению с генератором, и она хорошо показывает, почему третий шаг решения нельзя пропускать: внимательно перечитайте вопрос, прежде чем записывать ответ.

Будет ли на экзамене выбор между двумя сюжетами или это два возможных варианта одного номера, по пересказу проекта однозначно сказать нельзя — сверьтесь с утверждённой демоверсией.

Критерии: когда ставят 2, 1 и 0 баллов

Критерии проекта короткие, но из них следует довольно жёсткое требование к записи решения. Пересказ выглядит так.

• 2 балла — обоснованно получен верный ответ.
• 1 балл — верная последовательность всех шагов решения, но из-за вычислительной ошибки получен неверный ответ.
• 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше.

Из этого вытекают три практических вывода. Верное число без обоснования не гарантирует двух баллов: нужно показать, почему найденная точка — максимум. Частичный балл возможен только при условии, что ошибка именно вычислительная, а все шаги выстроены верно. А вот ошибка в модели — например, неверная формула тока — оставляет ноль, потому что последовательность шагов уже неверна.

Сравните с бывшей экономической задачей: она тоже стоила 2 балла, но теперь оценивается по краткому ответу, а семнадцатый номер унаследовал частичный балл за верный ход. Подробнее о переезде — на странице о финансовой задаче.

Что повторить перед задачами на моделирование

Набор тем для семнадцатого номера во многом совпадает с тем, что уже нужно для первой части. Главное — собрать его в один навык.

1. Производная частного и сложной функции, исследование функции на промежутке.
2. Квадратичная функция и её вершина — самый быстрый путь к экстремуму в простых моделях.
3. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим как альтернатива производной.
4. Решение рациональных неравенств методом интервалов.
5. Базовые физические зависимости: путь, скорость, работа, мощность, закон Ома.

Производная из экзамена не ушла, хотя отдельное задание на наибольшее значение функции, по сверке спецификаций, исключено. Как теперь распределены задачи на исследование функции, разобрано на странице об исследовании функции.

Как тренировать новое задание

Материала прямо под новый номер пока мало, поэтому тренировку стоит собирать из нескольких источников. Полные варианты 2026 года для замера времени не подходят: семнадцатого номера в них нет. Работают короткие регулярные подходы, а не разовые марафоны.

Хорошая заготовка — прикладные задачи десятого номера из сборников 2026 года, решённые «по-взрослому»: не подставлять в готовую формулу, а вывести её из условия, исследовать и записать вывод. Второй источник — задачи на экстремум из учебника алгебры и начал анализа. Третий — физические задачи на максимум мощности, дальности или площади.

Пример из жизни: выпускница Катя в октябре взяла по одной прикладной задаче на каждое занятие и стала оформлять их как семнадцатый номер, с проверкой знака производной. К мартовскому пробнику запись решения у неё стала привычной и перестала отнимать время.

Распределённые по времени повторения удерживаются лучше массированных^[3], поэтому возвращайтесь к каждому типу модели через несколько дней. Просите учителя или друга проверить решение строго по критериям проекта: такая самопроверка быстро показывает, где не хватает обоснования.

Полезный приём — двойная запись. Решите задачу один раз начерно, как удобно, а потом перепишите решение так, будто его читает эксперт, который не знает, о чём вы думали. Каждое утверждение должно опираться на предыдущее: формула тока, затем функция мощности, затем производная, затем знаки и вывод. Если какой-то переход приходится объяснять устно, значит, в записи его не хватает. Главное ограничение на экзамене — время, поэтому чистовик тренируйте сразу коротким: без пересказа условия, но со всеми ключевыми шагами.

Когда стоит браться за задание 17, а когда нет

Новый номер полезен не всем, и решение о нём лучше принимать по проверяемым признакам. Вот несколько ситуаций.

• Беритесь, если уверенно исследуете функцию производной и решаете задания первой части без потерь: 2 балла здесь доступнее, чем за параметр или задачу на числа.
• Не тратьте на него время, если первая часть ещё не решается стабильно: каждый номер там приносит балл быстрее.
• Не подходит как первая задача второй части, если вы плохо читаете длинные условия: начните с уравнения в задании 14.
• Отдельная подготовка не нужна, если вы сдаёте базовую математику: по базовому уровню изменений нет.

Ошибки оформления, которые стоят баллов

Многие потери в задании 17 связаны не с математикой, а с тем, как записано решение. Вот чего лучше избегать.

• Нельзя записывать только ответ без модели: без обоснования два балла не ставятся.
• Не пропускайте исследование знака производной — без него не доказано, что найден максимум.
• Нельзя путать искомую величину: спрашивают мощность — пишите мощность, а не сопротивление.
• Не забывайте область допустимых значений: сопротивление, время и длина не бывают отрицательными.
• Не опускайте единицы измерения в ответе развёрнутого решения.
• Не переписывайте условие в бланк целиком — это тратит время и ничего не добавляет.
• Нельзя считать проект окончательным: до утверждённой версии критерии могут уточниться.

Источники

[1] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года (проект). 2026.

[2] ФИПИ. Проект демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора КИМ ЕГЭ 2027 года по математике профильного уровня. 2026.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed Practice in Verbal Recall Tasks: A Review and Quantitative Synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.