Задание 6 на случайные величины: формат, пример и подготовка

Что проверяет задание 6 про случайные величины

По плану изменений ФИПИ задание 6 проверяет знания о случайных величинах, распределении вероятностей, математическом ожидании, дисперсии и стандартном отклонении^[1]. Это новый номер первой части профильного экзамена: в варианте 2026 года ничего похожего не было.

Формально задание устроено как все номера с 1 по 13. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, его переносят в бланк ответов № 1. Уровень сложности по приложению спецификации — повышенный, максимальный балл — 1. Ответ засчитывается только при точном совпадении с эталоном, поэтому промежуточные выкладки и «почти верное» число ничего не приносят.

Все сведения взяты из проекта документов, опубликованного в конце августа 2026 года^[2]. Утверждённая версия демоверсии, по сообщению одного издания, ожидается в первой половине ноября; до этого формулировки и даже номер ещё могут уточнить.

Где новое задание стоит в варианте 2027 года

Шестой номер встал сразу после двух заданий на вероятность и перед блоком уравнений. Из-за этой вставки бывшие задания 6–11 сдвинулись на одну позицию и стали 7–12.

Соседство не случайно. Задание 4 проверяет вычисление вероятностей, задание 5 — формулы и графические методы теории вероятностей, а задание 6 добавляет следующий шаг: от вероятности одного события к величине, которая принимает разные значения с разными вероятностями. Логично решать эти три номера подряд и на тренировках, и на экзамене. Сборник 2026 года для отработки шестого номера не подходит: его там просто нет.

В проекте кодификатора тема записана в требованиях к результатам: «случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение». Отдельного элемента содержания под неё нет; ближайшие разделы — 6.1 «Описательная статистика» и 6.2 «Вероятность». Полная таблица номеров и баллов собрана на странице о профильной математике 2027, а пересчитать номер из старого сборника можно в переводчике номеров.

Пять понятий, без которых задание не решить

Минимальный словарь темы укладывается в пять понятий, и каждое сводится к короткой формуле. Таблица ниже — опора для повторения, а не замена учебнику.

Формула дисперсии через E(X²) обычно короче, чем через квадраты отклонений, но обе дают одинаковый результат. Свойства пригодятся, когда условие описывает величину, полученную из другой: например, выигрыш минус цена билета.

Пример из демоверсии: лотерея на 10 000 билетов

В проекте демоверсии требуется найти математическое ожидание выигрыша в лотерее, где выпущено 10 000 билетов; верный ответ — 55. Сюжет показательный: перед нами задача на распределение, замаскированная под бытовую ситуацию.

Общий ход для такого сюжета такой. Выигрыш на один билет — это величина X, которая принимает несколько значений: размеры призов и ноль для пустых билетов. Вероятность каждого значения равна числу билетов с этим призом, делённому на 10 000. Математическое ожидание — сумма произведений «приз × вероятность», то есть весь призовой фонд, поделённый на число билетов.

Полную таблицу призов смотрите в самом файле демоверсии на сайте ФИПИ: пересказывать её по памяти не стоит. Главная мысль примера в том, что ожидание — это не самый частый выигрыш и не середина между минимумом и максимумом, а среднее, взвешенное вероятностями.

Тренировочный расчёт: ожидание, дисперсия, отклонение

Чтобы отработать все три характеристики сразу, возьмём собственный пример, которого нет в демоверсии. Пусть X — число верно решённых задач из трёх, и известны вероятности каждого исхода.

Сначала проверяем, что вероятности в сумме дают 1: 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1. Ожидание равно сумме третьего столбца, E(X) = 1,7. Дисперсия равна 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81. Стандартное отклонение — корень из дисперсии, σ = 0,9. Все три числа — конечные десятичные дроби, такой ответ можно записать в бланк.

Такую таблицу полезно рисовать на черновике всегда: четыре столбца защищают от пропущенного значения и от путаницы между E(X²) и (E(X))².

Связь с курсом вероятности и статистики

Задание 6 опирается на тот же школьный курс вероятности и статистики, из которого взяты номера 4 и 5. Если с ними всё в порядке, новая тема достраивается поверх уже знакомых понятий.

Описательная статистика даёт интуицию: среднее арифметическое набора чисел и разброс вокруг него. Математическое ожидание и дисперсия — те же идеи, только вместо частот в наборе стоят вероятности. Ученику, который в десятом классе считал среднее и дисперсию для таблицы оценок, достаточно заменить частоты долями.

Из раздела «Вероятность» понадобятся сложение вероятностей несовместных событий и умножение для независимых испытаний. Они нужны, чтобы составить распределение, когда его не дали готовым: например, найти вероятности того, что из двух выстрелов попадут ноль, один или два. Без этих правил собрать таблицу распределения нельзя, а без таблицы не посчитать ни ожидание, ни разброс.

Полезно и обратное движение. Решив задачу на ожидание, посмотрите на неё глазами статистика: если провести лотерею тысячу раз, средний выигрыш на билет будет близок к найденному числу. Такая проверка здравым смыслом быстро отсекает ответы, которые больше самого крупного приза.

Что повторить до весны

Подготовку к новому номеру удобно разложить на короткий список тем, который закрывается за несколько недель неспешной работы. Ниже — минимальный набор.

1. Составление распределения по условию и проверка суммы вероятностей.
2. Вычисление математического ожидания по таблице и через призовой фонд.
3. Дисперсия двумя способами и стандартное отклонение.
4. Свойства ожидания и дисперсии при умножении на число и прибавлении константы.
5. Ожидание суммы величин: оно равно сумме ожиданий.
6. Повторение заданий 4 и 5 — без уверенной вероятности составить распределение не получится.

Биномиальное распределение с формулами np и np(1 − p) знать полезно, хотя в проекте не уточняется, какие именно распределения встретятся в вариантах. Если вы занимаетесь по сборнику 2026 года, задач на эту тему там нет: материал придётся брать из школьного учебника и из самой демоверсии.

Ловушки в задачах на случайные величины

Большинство ошибок в такой задаче — не в формулах, а в чтении условия и арифметике. Вот что чаще всего ломает ответ.

• Вероятности не складываются в 1, потому что забыт исход «ничего не выиграл» или «ноль попаданий».
• Перепутаны выигрыш и чистый выигрыш: если в условии есть цена билета, её нужно вычесть из каждого значения или из ожидания.
• Записана дисперсия вместо стандартного отклонения или наоборот.
• Вместо E(X²) взят квадрат ожидания, и дисперсия получилась нулевой или отрицательной — верный признак ошибки.
• Ответ округлён, хотя должен быть точным: округлённое число не засчитывается.
• В бланк вписаны единицы измерения или пояснение, хотя туда идёт только число; комментарии в бланке ответов не проверяются.

Как тренировать тему по неделям

Лучше всего работают короткие регулярные подходы: по 20–30 минут два раза в неделю с октября до мартовского пробника. Длинный марафон за одни выходные даст меньше.

Метаанализы показывают, что распределённая во времени практика и самопроверка дают высокую пользу, а перечитывание и выделение маркером — низкую^[3]. Попытка решить задачу без подсказки закрепляет материал лучше, чем повторное чтение разобранного примера^[4]. Поэтому вместо конспекта формул заведите карточки: на лицевой стороне таблица распределения, на обороте E(X), D(X) и σ.

Схема на практике: в первую неделю — распределение и ожидание, во вторую — дисперсия, в третью — смешанные задачи, дальше — по одной задаче на тему в каждой домашней тренировке. Подробнее о ритме повторений — в материале об интервальном повторении.

Отдельный случай — выпускник прошлых лет, который сдавал профиль в 2026 году и идёт на экзамен снова. Шестой номер для него полностью новый, и опыт прошлого года здесь не поможет. Зато ему проще выделить время: остальная первая часть ему знакома, и два коротких занятия в неделю на новую тему почти не отнимут ресурса у второй части. Зачёт по такой теме ставьте себе только при условии, что три задачи подряд решены без подсказки.

Когда отдельная подготовка к заданию 6 не нужна

Новый номер касается не всех, и в нескольких ситуациях время лучше потратить иначе. Проверьте себя по условиям ниже.

• Вы сдаёте базовую математику: по базовому уровню изменений нет, задания на эту тему там не появилось.
• Вы уже уверенно считаете ожидание и дисперсию по таблице — достаточно пары контрольных подходов перед пробником.
• Вы решаете полный вариант 2026 года ради замера времени: задание 6 туда не встроить, а тренировать его стоит отдельно.
• После выхода утверждённой версии формат номера изменился — тогда ориентируйтесь на финальную демоверсию, а не на этот разбор.

Чего нельзя делать при подготовке к шестому номеру

Ошибки в подготовке к новому заданию обычно связаны со старыми материалами и с тем, что тему считают слишком лёгкой. Вот что лучше не делать.

• Нельзя искать задания на эту тему в сборниках 2026 года под номером 6: там под этим номером уравнения.
• Не стоит учить только формулу ожидания: по плану изменений проверяются ещё дисперсия и стандартное отклонение.
• Нельзя записывать в бланк обыкновенную дробь или корень: допускается только целое число или конечная десятичная дробь.
• Не пропускайте проверку суммы вероятностей — это самый дешёвый способ поймать ошибку.
• Не откладывайте тему до весны: короткие подходы с октября работают лучше.
• Не воспринимайте проект как окончательный текст: дождитесь утверждённой демоверсии и сверьте с ней формат.

Источники

[1] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года (проект). 2026.

[2] ФИПИ. Проект демонстрационного варианта, спецификации и кодификатора КИМ ЕГЭ 2027 года по математике профильного уровня. 2026.

[3] Dunlosky J., Rawson K. A., Marsh E. J., Nathan M. J., Willingham D. T. Improving Students' Learning With Effective Learning Techniques // Psychological Science in the Public Interest. 2013. Vol. 14, № 1. P. 4–58.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-Enhanced Learning: Taking Memory Tests Improves Long-Term Retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.